傅立葉轉換(Fourier Transform)的應用 [程式碼]

EasyTrader ArtNo 174

友版 版主 清華 日前發表一篇《數學給我的感動 -- 給數理科系的大一新鮮人》獲得極大迴響,本篇介紹一位擅長使用數學模式作均線平滑化的知名作者 John Ehlers 所發表的一個交易策略。在通訊理論中 , 傅立葉轉換(Fourier Transform)扮演了極重要的角色 , 我們幾乎可以說沒有傅立葉轉換 , 就不可能有我們現在的通訊。傅立葉轉換究竟是什麼? 如果我們用非常正式的數學方式來解釋它 , 大家就看不懂了 , 因此我在這裡設法用非正式的方式來解釋。
首先,請看(圖一) , (圖一)所表示的是一個 cosine 函數 , 各位可以看出來 , 在一秒內,這個函數變換了 3 次,所以我們說這是一個頻率為 3 的 cosine 函數。

請各位再看(圖二 ), 這個訊號既不是 cosine , 也不是 sine , 它究竟是什麼呢?

如果我們用傅立葉轉換來分析這個訊號 , 你就可以得到(圖三)。
(圖三)什麼意義呢? 我們可以發現(圖三)是左右對稱的 , 而(圖三)所給的資訊只要看左邊的部份就可以。 在左邊,我們可以看到兩個尖端 , 一個在頻率 f =7 的地方 , 一個在頻率 f =15 的地方 , 換句話說 , (圖二)的這個訊號其實是兩個訊號的和:



大概說起來 , 傅立葉轉換的理論是說,任何一個訊號 , 都是一大堆 cosine函數的和。 為了避免太抽象的數字理論 , 我在這篇文章介紹的是離散傅立葉轉換(Discreate Fourier Transform)。

因此 , 我們可以說 , 傅立葉轉換 , 是一種分析的工具 , 我們可以利用傅立葉轉換來看任何一個訊號內究竟有什麼樣的訊號

(圖五)的訊號是一秒鐘的音樂訊號 , 對於我們來說 , 這當然是一頭霧水, 不知道這個訊號葫蘆裡賣什麼藥 , (圖六)是(圖五)訊號的離散傅立葉轉換頻譜。讀者可以看到真正重要的頻率集中在 3000Hertz 之前 , 我們幾乎可以說,3000Hertz以後的訊號是不太重要的。 我也要強調離散傅立葉轉換有一個對稱性 ,各位讀者只需要看8192hertz以前的頻率就能夠了 , 大於8192Hertz的頻率一概是多餘的。



參考資料 傅葉爾轉換(Fourier Transform)

這是一篇 SineWave 作者 John Ehlers 2007年所發表的一個應用傅立葉轉換的交易策略


策略程式碼
inputs:Price(MedianPrice), Window(50),{ maximum Window = 50 } OverBought(70),OverSold(30),Frac(0.5) ;
inputs:ExitType(1), NBarL(2),NBarS(2),TradeProfit(0.05),TradeStopLoss(0.02);
inputs: ATRs_L(3),ATRs_S(3),BaseProfit(10000),VolatilityATRs(2), ATRLength(10);
variables: HP(0),CleanedData(0),Per(0),CosPer(0),CycPer(0),Alpha1(0),Period(0),n(0),
MaxPwr(0),Num(0),Denom(0),ThreeMinus(0),DominantCycle(0),Change(0),AbsChange(0),Count(0),DFT_RSI(0) ;

{ arrays are sized for a maximum period of 50 bars }
arrays: CosinePart[50](0),SinePart[50](0),Pwr[50](0),DB[50](0),SF[50](0),NetChgAvg[50](0),
TotchgAvg[50](0),RSIArray[50](0) ;

vars: IsBalanceDay(False),MP(0),PF(0),PL(0);

if DAYofMonth(Date) > 14 and DAYofMonth(Date) < 22 and DAYofWeek(Date)= 3 then isBalanceDay = True else isBalanceDay =False ;

PF = AvgPrice*TradeProfit ;
PL = AvgPrice*TradeStopLoss ;

{ detrend data by high-pass filtering with a 40 period cut-off }
if CurrentBar <= 5 then begin
   HP = Price ;
   CleanedData = Price ;
end else if CurrentBar > 5 then begin
   Per = 360 / 40 ;
   CosPer = Cosine( Per ) ;
   if CosPer <> 0 then Alpha1 = ( 1 - Sine( Per ) ) / CosPer ;
   HP = 0.5 * ( 1 + Alpha1 ) * ( Price - Price[ 1 ] ) + Alpha1 * HP[1] ;
   CleanedData = ( HP + 2 * HP[1] + 3 * HP[2] + 3 * HP[3] + 2 * HP[4] + HP[5] ) / 12 ;
end ;

{ calculate DFT }
for Period = 8 to 50 begin
   CosinePart[Period] = 0 ;
   SinePart[Period] = 0 ;
   for n = 0 to Window - 1 begin
      CycPer = ( 360 * n ) / Period ;
      CosinePart[Period] = CosinePart[Period] + CleanedData[n] * Cosine( CycPer ) ;
      SinePart[Period] = SinePart[Period] + CleanedData[n] * Sine( CycPer ) ;
   end ;
   Pwr[Period] = Square(CosinePart[Period]) + Square(SinePart[Period]) ;
end ;

{ find maximum power level for normalization }
MaxPwr = Pwr[8] ;
for Period = 8 to 50 begin
   if Pwr[Period] > MaxPwr then MaxPwr = Pwr[Period] ;
end ;

{ normalize power levels and convert to decibels }
for Period = 8 to 50 begin
   if MaxPwr > 0 and Pwr[Period] > 0 then
      DB[Period] = -10 * log( 0.01 /( 1 - 0.99 * Pwr[Period] / MaxPwr ))/log(10) ;
   if DB[Period] > 20 then DB[Period] = 20 ;
end ;

{ find dominant cycle using CG algorithm }
Num = 0 ;
Denom = 0 ;
for Period = 8 to 50 begin
   if DB[Period] < 3 then begin
       ThreeMinus = 3 - DB[Period] ;
        Num = Num + Period * ThreeMinus ;
       Denom = Denom + ThreeMinus ;
   end ;
end ;

if Denom <> 0 then DominantCycle = Num / Denom ;
Change = Price - Price[1] ;
AbsChange = AbsValue( Change ) ;
for Count = 1 to Window begin
   if CurrentBar = 1 then begin
   SF[Count] = 1 / Count ;
   NetChgAvg[Count] = ( Price - Price[Count] ) / Count ;
   TotChgAvg[Count] = Average( AbsChange, Count ) ;
end else begin
   NetChgAvg[Count] = NetChgAvg[Count][1] + SF[Count] * ( Change - NetChgAvg[Count][1] ) ;
  TotChgAvg[Count] = TotChgAvg[Count][1] + SF[Count] * ( AbsChange - TotChgAvg[Count][1] ) ;
   if TotChgAvg[Count] <> 0 then
       RSIArray[Count] = ( 50 *( NetChgAvg[Count] / TotChgAvg[Count] + 1 ) )
  else RSIArray[Count] = 50 ;
end ;
end ;

DFT_RSI = RSIArray[ iff( Frac * DominantCycle < 50, Frac * DominantCycle, 50 ) ] ;

{ CB > 1 check used to avoid spurious cross confirmation at CB = 1 }

if Currentbar > 1 then begin
   if DFT_RSI crosses over OverSold then Buy ( "RSI-LE" ) next bar at market ;
   if DFT_RSI crosses under OverBought then Sell( "RSI-SE" ) next bar at market ;
end ;

if ExitType = 1 then SetStopLoss(PL * BigPointValue) ;

if ExitType = 2 then Begin
   SetStopLoss(PL * BigPointValue) ;
   SetProfitTarget(PF * BigPointValue) ;
end;

if ExitType = 3 then Begin
   if MP > 0 and BarsSinceEntry = NBarL then ExitLong next bar at Market ;
   if MP < 0 and BarsSinceEntry = NBarS then ExitShort next bar at Market ;
end;

if ExitType = 4 then Begin
   SetStopLoss(PL * BigPointValue) ;
   SetProfitTarget(PF * BigPointValue) ;
   if MP > 0 and BarsSinceEntry = NBarL then Sell {ExitLong} next bar at Market ;
   if MP < 0 and BarsSinceEntry = NBarS then Buy {ExitShort} next bar at Market ;
end;

if ExitType = 5 then Begin

  {Inputs: ATRs_L(3);}
  Variables: PosHigh(0), ATRVal_L(0);
   ATRVal_L = AvgTrueRange(10) * ATRs_L;

   If BarsSinceEntry = 0 Then PosHigh = High;
   If MarketPosition = 1 Then Begin
      If High > PosHigh Then PosHigh = High;
      ExitLong ("ATR") Next Bar at PosHigh - ATRVal_L Stop;
   End else ExitLong ("ATR eb") Next bar at High - ATRVal_L Stop;

  {Inputs: ATRs_S(3);}
   Variables: PosLow(0), ATRVal_S(0);
   ATRVal_S = AvgTrueRange(10) * ATRs_S;

   If BarsSinceEntry = 0 Then PosLow = Low;

   If MarketPosition = -1 Then Begin
      If Low < PosLow Then PosLow = Low;
       ExitShort ("ATR_1") Next Bar at PosLow + ATRVal_S Stop;
    End else ExitShort ("ATR_1 eb") Next bar at Low + ATRVal_S Stop;
end;

if IsBalanceDay then setExitonClose ;

台指期 日K 留倉 2004/5/31 ~ 2014/5/30 交易成本 1200





從年/月績效來看是一個穩定的波段策略喔 !

結論:透過不同的創新思考,就能將理論模型轉換至不同領域上的實務應用